By the time we’re adults, the connection between numerals and their names is almost automatic, so we barely give them a second thought.
Which is why it might surprise you to hear that the English for 92 isn’t a great way to describe the number, and some languages are even worse.
Other languages do a much better job of describing digits. But it’s not just a matter of semantics – as early as 1798 scientists suggested that that the language we learn to count in could impact our numerical ability.
In fact, one Western country actually overhauled its entire counting system within the last century, to make it easier to teach and do mathematics.
So what is the best way to count?
Nearly all cultures today use the same decimal, or base-10, number system, which arranges the digits 0-9 into units, tens and hundreds, and so on.
The most logical counting systems use words that reflect the structure of this system and have regular, straightforward rules – but many languages use complicated and messy conventions instead.
For example, in French, 92 is quatre-vingt douze or “four twenties and twelve”.
And in Danish, the word for 92 is tooghalvfems, where halvfems, meaning 90,is an abbreviation of the Old Norse word halvfemsindstyve, or “four and a half times twenty”.
And in English, words like “twelve” or “eleven” don’t give many clues as to the structure of the number itself (these names actually come from the Old Saxon words ellevan and twelif, meaning “one left” and “two left”, after 10 has been subtracted).
Contrast this with Mandarin Chinese, where the relationship between the tens and the units is very clear. Here, 92 is written jiǔ shí èr, which translates as “nine ten two”.
Japanese and Korean also use similar conventions, where larger numbers are created by compounding the names for smaller ones.
Psychologists call systems like these “transparent”, where there is an obvious and consistent link between numbers and their names.
How language shapes our maths ability
There’s growing evidence that the transparency of a counting system can affect the way we process numbers. For example, children who count in East Asian languages may have a better understanding of the base-10 system.
In one study, first-grade children were asked to represent numbers like 42 using blocks of tens and units.
Those from the US, France or Sweden were more likely to use 42 individual unit blocks, while those from Japan or Korea were more likely to use four blocks of ten and two single-unit blocks, which suggests that the children’s early mental representation of numbers may have been shaped by their language.
Of course, there are many other reasons why children from different countries might have different mathematical abilities, including how maths is taught and attitudes towards education.
It’s normally hard to control for these factors when studying people from different cultures – but one language offers a fascinating solution.
Numbers in the modern Welsh system are very transparent. Now, 92 is naw deg dau, or “nine ten two”, much like the system used in East Asian languages.
In the older, traditional system, (which is still used for dates and ages), 92 is written dau ar ddeg a phedwar ugain, or “two on ten and four twenty”.
The new system was actually created by a Welsh Patagonian businessman for accounting purposes, but it was eventually introduced into Welsh schools in the 1940s.
In Wales today, about 80% of pupils are taught maths in English, but 20% are taught in modern Welsh.
This provides the perfect opportunity to experiment with children who learn maths in different languages, but study the same curriculum, and who are from a similar cultural background, to see if the East Asian style counting system really is more effective than the ones we use in the West.
Six-year-old children taught in Welsh and English were tested on their ability to estimate the position of two-digit numbers on a blank number line, labelled “0” on one end and “100” on the other.
Both groups performed the same on tests of general arithmetic but the Welsh children did better on the estimation task.
“We think that it’s because the Welsh medium children had a somewhat more precise representation of two-digit numbers,” says Ann Dowker, lead author on the study and experimental psychologist at the University of Oxford. “They may have had a greater understanding of the relationships between numbers, how large they are relative to other numbers.”
Inverting the problem
In other languages, the tens and units of numbers are inverted.
For example, in Dutch, 94 is written vierennegentig (or “four and ninety”), and other research suggests this may make it harder to do certain mathematical processes.
For example, Dutch kindergarten children performed worse than English children on a task that required them to roughly add together two-digit numbers. This was despite the fact they were slightly older and had better working memory, because Dutch kindergarten starts later than in the UK.
But on nearly every other metric, including counting ability, roughly adding and comparing quantities of dots, and simple addition of single-digit numbers, the two groups performed at the same level.
“The fact that they were the same in every other aspect, apart from the condition where two digits showed up, shows you that it’s the language that is making the difference,” says Iro Xenidou-Dervou, lead author on the study and lecturer in mathematical cognition at Loughborough University.
Xenidou-Dervou’s explanation is that when the children see a number like 38 on the task, they vocalise it internally, and then picture its position on a mental number line.
In Dutch, the extra mental step of having to un-invert the number “eight and thirty” before they can assess its value creates extra cognitive strain, and this affects their performance.
It seems this effect isn’t limited to children either. To investigate this mechanism further, Iro’s group performed a version of the number line estimation task on adults, but this time subjects were fitted with eye-tracking software.
“Eye tracking shows you the underlying cognitive processing, because we can see whether they take longer to go to the line, and also check whether at any point they look at the incorrect number,” says Xenidou-Dervou.
Both groups had the same levels of accuracy in terms of their final eye position, but when the numbers were spoken rather than written down, the Dutch subjects were more likely to look towards the position of the inverted number first. So, if asked to look at 94, their eyes might first flick towards 49. The English subjects almost never made such movements.
The results are surprising, because it’s assumed that by the time we are adults, number names have been automated, so language doesn’t affect how we process them.
But even though both groups performed the same on a test of basic maths ability, it’s possible that the less transparent system could make maths that little bit harder for the Dutch speakers.
“The effects are small, and yet this is numeracy at its most basic, just estimating a number on a line,” explains Xenidou-Dervou. “As adults, we’re doing very complicated tasks in our daily lives, and so even small difficulties caused by the number naming system could potentially be an additive hurdle to everyday mathematical skills.”
So, given that more transparent counting systems seem to make it easier for us to process numbers, what does this mean for how we teach maths to children?
“Well, I don’t think that this should be the basis for which language we teach children in,” says Dowker. “But [we should be] aware of what difficulties children may have in particular arithmetical systems.”
Xenidou-Dervou agrees. “It would be good if Dutch children received a formal instruction for two-digit numbers a bit earlier. It’s just good to be aware that this is a hurdle, and it needs a bit more effort when you have such a number naming system.”
So even though we might all be using the same numbers, the words we use may influence how we think about them.
They say maths is a universal language, but perhaps that’s not true after all.
Vì sao trẻ châu Á thường giỏi toán hơn trẻ châu Âu
Nếu tôi đề nghị bạn viết ra con số “chín mươi hai”, thì hẳn là bạn viết được ngay không cần phải nghĩ.
Con người ta cho tới khi trưởng thành thì việc kết nối tư duy giữa các con số và tên gọi của chúng gần như là tự động, vì vậy chúng ta hầu như không cần phải nghĩ.
Đó là lý do tại sao mà bạn sẽ thật sự ngạc nhiên khi nghe nói rằng cách thể hiện con số 92 trong tiếng Anh (“ninety two”) chưa phải là theo cách hay nhất.
Có một số ngôn ngữ khác có cách mô tả các con số có hai chữ số hợp lý hơn nhiều. Nhưng vấn đề ở đây không phải là chuyện ngữ nghĩa – ngay từ năm 1798, các nhà khoa học cho rằng ngôn ngữ mà chúng ta học để đếm có thể ảnh hưởng đến khả năng tư duy số học của chúng ta.
Trên thực tế, có một nước phương Tây đã phải xem xét lại toàn bộ hệ thống ngôn ngữ số đếm của mình trong thế kỷ trước, để giúp việc dạy toán và làm toán được dễ dàng hơn.
Vậy đếm theo cách nào là tốt nhất?
Gần như tất cả các nền văn hóa ngày nay đều sử dụng hệ thập phân, hay hệ đếm cơ số 10, theo đó sắp xếp các số từ 0 đến 9 thành các số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục nghìn, hàng trăm nghìn, hàng triệu, và cứ tiếp tục như vậy.
Một con số, nhiều cách gọi
Các hệ thống đếm hợp lý nhất sử dụng các từ phản ánh cấu trúc của hệ số thập phân và đặt ra các quy tắc nhất quán, đơn giản – song cũng có nhiều ngôn ngữ lại dùng các quy ước phức tạp và rắc rối.
Ví dụ, trong tiếng Pháp, số 92 được đọc là “quatre-vingt douze“ nghĩa là “bốn lần hai mươi và mười hai”.
Trong tiếng Đan Mạch, số 92 được đọc là “tooghalvfems“, trong đó halvfems nghĩa là 90, là một cách viết tắt của từ halvfemsindstyve trong tiếng Bắc Âu cổ, có nghĩa “bốn lần hai mươi và một nửa của hai mươi”.
JAVIER HIRSCHFELD/ GETTY IMAGES Trong tiếng Đan Mạch, số 90 được đọc là halvfems, viết tắt của từ halvfemsindstyve trong tiếng Bắc Âu cổ, có nghĩa là “bốn lần hai mươi và một nửa của hai mươi”Còn trong tiếng Anh, những từ như là “twelve” (12) hay “eleven” (11) không hề gợi cho ta manh mối gì về cấu trúc thông thường của con số 12 và 11 cả. Những từ này thực ra có nguồn gốc của các từ “ellevan” và “twelif” trong tiếng Saxon cổ, có nghĩa là “dư một” và “dư hai” sau khi trừ đi mười.
Tương phản với cách diễn tả này là tiếng Quan Thoại của Trung Quốc, thứ ngôn ngữ biểu thị rất rõ ràng mối quan hệ giữa hàng chục và hàng đơn vị. Cụ thể, số 92 được đọc là “cửu thập nhị”, tức là “chín mươi hai”.
Nhật Bản và Hàn Quốc cũng sử dụng các quy tắc tương tự, trong đó số lớn hơn được tạo ra bằng cách ghép tên từ các số nhỏ hơn.
Các nhà tâm lý học gọi các hệ thống như vậy là “minh bạch”, vì trong đó có tồn tại một mối liên kết hiển nhiên và nhất quán giữa con số với tên gọi của chúng.
Ngôn ngữ định hình khả năng học toán của chúng ta như thế nào
Ngày càng nhiều bằng chứng cho rằng sự minh bạch của một hệ thống số đếm ảnh hưởng đến cách chúng ta tính toán xử lý con số. Ví dụ, trẻ em đếm bằng các ngôn ngữ Đông Á nắm vững hơn về hệ thập phân.
Trong một nghiên cứu, trẻ em lớp một được yêu cầu biểu thị các con số, chẳng hạn như số 42 bằng cách sử dụng các khối hàng chục và và khối hàng đơn vị.
Những bé từ Mỹ, Pháp hoặc Thụy Điển có xu hướng sử dụng 42 khối hàng đơn vị riêng lẻ, trong khi các bé từ Nhật Bản hoặc Hàn Quốc có xu hướng sử dụng bốn khối hàng chục và hai khối hàng đơn vị.
Điều đó cho thấy rằng cách trí óc trẻ em tư duy biểu thị các số từ khi còn nhỏ có thể đã được định hình bởi ngôn ngữ mà chúng sử dụng.
Tất nhiên, còn nhiều lý do khác khiến trẻ em từ các quốc gia khác nhau có thể có khả năng làm toán khác nhau, trong đó có cả phương pháp dạy toán và mức độ quan tâm của gia đình và xã hội đối với lĩnh vực giáo dục.
Đó là các yếu tố khó kiểm soát khi nghiên cứu trên những thành viên đến từ các nền văn hóa khác nhau – song việc trên thế giới có quốc gia cải tiến ngôn ngữ dùng cho việc đếm số đã thực sự đặt ra một giải pháp thú vị cho vấn đề này.
Các con số trong hệ thống tiếng Wales hiện đại được biểu thị rất trong sáng, dễ hiểu: 92 được đọc là “naw deg dau“, nghĩa là “chín mươi hai”, theo quy tắc giống như các ngôn ngữ Đông Á đang sử dụng.
Trong ngôn ngữ truyền thống cũ của xứ Wales (hiện vẫn còn được sử dụng cho việc đếm ngày và đếm tuổi), thì 92 lại được viết thành “dau ar ddeg a phedwar ugain“, nghĩa là “hai và mười và bốn lần hai mươi”.
Hệ thống mới này thực ra được tạo nên bởi một doanh nhân người xứ Wales cho mục đích kế toán, nhưng cuối cùng nó đã được đưa vào các trường học xứ Wales vào những năm 1940.
JAVIER HIRSCHFELD/ GETTY IMAGES Theo ngôn ngữ hiện đại của xứ Wales thì số 92 được đọc là “naw deg dau”, nghĩa là “chín mươi hai”. Trong ngôn ngữ truyền thống, số 92 được viết thành “dau ar ddeg a phedwar ugain”, nghĩa là “hai và mười và bốn lần hai mươi”Ở xứ Wales ngày nay, khoảng 80% học sinh được dạy toán bằng tiếng Anh, 20% được dạy bằng tiếng Wales mới.
Điều này mang đến cơ hội hoàn hảo để thử nghiệm với những đứa trẻ học cùng một chương trình giảng dạy tại cùng một nền văn hóa song học toán bằng các ngôn ngữ khác nhau, để xem hệ thống đếm kiểu Đông Á có thực sự hiệu quả hơn hệ thống đếm mà người phương Tây đang sử dụng hay không.
Trẻ em sáu tuổi được dạy bằng tiếng Wales hiện đại và trẻ em cùng tuổi được dạy bằng tiếng Anh đã cùng được kiểm tra khả năng điền đúng vị trí của các số có hai chữ số trên một dòng trống đánh số từ 00 đến 100.
Cả hai nhóm có kết quả tương đương trong các bài kiểm tra số học nói chung nhưng trẻ em được dạy bằng tiếng Wales hiện đại đạt kết quả tốt hơn trong việc điền đúng vị trí con số.
“Chúng tôi nghĩ rằng đó là bởi vì những đứa trẻ học lực trung bình ở xứ Wales có tư duy biểu thị chính xác hơn các số có hai chữ số,” Ann Dowker, nhà tâm lý học thực nghiệm tại Đại học Oxford và là tác giả chính của nghiên cứu, nói. “Chúng có thể hiểu mạch lạc hơn về mối quan hệ giữa các con số, độ lớn của chúng so với các con số khác.”
Đảo ngược hàng đơn vị lên trước hàng chục
Trong các ngôn ngữ khác, các con số hàng chục và hàng đơn vị lại bị đảo ngược.
Ví dụ, trong tiếng Hà Lan, số 94 được viết là “vierennegentig” (nghĩa là “bốn và chín mươi”), và một nghiên cứu khác cho thấy điều này có thể làm cho việc thực hiện một số bước làm toán trở nên khó khăn hơn.
Ví dụ, trẻ em mẫu giáo Hà Lan làm toán kém hơn trẻ mẫu giáo Anh trong một phép tính cộng các số có hai chữ số, tuy các bé ở Hà Lan lớn tuổi hơn một chút và có trí nhớ tốt hơn vì độ tuổi đi mẫu giáo lớn hơn so với ở Anh.
Tuy nhiên, trên hầu như mọi khía cạnh khác, từ khả năng đếm, làm tròn số, đến làm phép cộng đơn giản giữa các số chỉ có một chữ số, hai nhóm đạt kết quả hầu như giống nhau.
“Thực tế là chúng gần như tương đương nhau ở mọi khía cạnh, trừ khi dính đến các số có hai chữ số, cho thấy rằng chính ngôn ngữ tạo ra sự khác biệt,” Iro Xenidou-Dervou, giảng viên nhận thức toán học tại Đại học Loughborough và là tác giả chính của nghiên cứu, cho biết.
Cách giải thích của Xenidou-Dervou là khi những đứa trẻ được yêu cầu làm toán với một con số có hai chữ số, chẳng hạn như số 38, chúng sẽ đọc thầm con số đó trong đầu, và sau đó hình dung vị trí của nó trên một dãy số tưởng tượng.
Trong ngôn ngữ Hà Lan, bước tưởng tượng này phải thêm khâu tái đảo số “tám” và số “ba” trước khi các bé có thể đánh giá giá trị của số 38 ở đâu trên dãy số. Chính điều này tạo thêm sự căng thẳng trong nhận thức và ảnh hưởng đến hiệu suất làm bài của các bé.
Có vẻ như hiệu ứng này không chỉ giới hạn ở trẻ em. Để tìm hiểu thêm về cơ chế này, nhóm của Iro đã thực hiện một phiên bản bài tập tìm số đúng trên dãy số với đối tượng tham gia là người lớn, song lần này các thành viên được trang bị phần mềm theo dõi mắt.
“Theo dõi mắt cho thấy quá trình nhận thức bên trong tâm trí người tham gia, bởi vì chúng ta có thể biết liệu họ có mất nhiều thời gian hơn để tìm đúng con số của đầu bài ra hay không, và cũng kiểm tra xem họ có lần nào nhìn vào con số sai hay không,” Xenidou-Dervou nói.
JAVIER HIRSCHFELD/ GETTY IMAGES Trong tiếng Hà Lan, chữ số hàng đơn vị được đọc trước số hàng chục, có nghĩa là trẻ con phải đảo ngược để hiểu đúng giá trị biểu thị của con sốCả hai nhóm đều đạt cùng mức độ chính xác về vị trí nhìn cuối cùng của họ, nhưng khi các con số được đọc lên thay vì viết ra, các thành viên người Hà Lan nhìn nhiều hơn về vị trí của số đảo ngược trước. Vì vậy, nếu được yêu cầu nhìn vào số 94, mắt của họ có thể liếc lần đầu về hướng số 49. Các thành viên người Anh hầu như không lần nào thực hiện chuyển động mắt về hướng con số đảo ngược như vậy.
Kết quả thật đáng ngạc nhiên, bởi người ta cho rằng khi con người ta trưởng thành thì cách gọi tên con số đã được tự động hóa trong tâm trí, vì vậy ngôn ngữ không ảnh hưởng mấy đến cách chúng ta xử lý con số.
Mặc dù cả hai nhóm đều có kết quả như nhau trong bài kiểm tra khả năng toán cơ bản, nhưng có khả năng là sự kém minh bạch của hệ thống ngôn ngữ Hà Lan trong việc biểu thị con số đã khiến môn toán trở nên khó hơn một chút đối với người nói tiếng Hà Lan.
“Dù các hiệu ứng chỉ là nhỏ, song đây là số học ở mức căn bản nhất, chỉ cần tìm ra con số đúng trên một dãy số thôi,” Xenidou-Dervou giải thích. “Khi trưởng thành, hàng ngày chúng ta phải thực hiện cả đống những công việc rất phức tạp và do đó, ngay cả những khó khăn nhỏ của hệ thống đặt tên số cũng có thể làm tăng thêm trở ngại đối với các kỹ năng làm toán thông thường.”
Như vậy, khi các hệ thống đếm trong sáng hơn dường như giúp chúng ta dễ dàng xử lý con số hơn thì điều này có ý nghĩa thế nào đối với cách chúng ta dạy toán cho trẻ em?
“Tôi không nghĩ rằng đây phải là quy tắc cơ bản đối với thứ ngôn ngữ mà chúng ta đang dùng để dạy trẻ em học toán,” Dowker nói. “Tuy nhiên, [chúng ta nên] nhận thức được những khó khăn mà trẻ em có thể gặp phải trong các hệ thống số học nhất định.”
Xenidou-Dervou đồng ý. “Sẽ thật tốt nếu trẻ em Hà Lan nhận được một hướng dẫn chính thức cho việc biểu thị các số có hai chữ số từ khi còn nhỏ. Thật tốt khi nhận ra rằng đây là một trở ngại, và trẻ em cần cố gắng nhiều hơn khi chúng phải dùng ngôn ngữ có hệ thống gọi các con số rắc rối như vậy.”
Cho nên dù rằng tất cả chúng ta có thể đều đang sử dụng cùng một hệ số đếm, nhưng những từ mà ta dùng vẫn có thể ảnh hưởng đến cách chúng ta tư duy về những con số.
Người ta nói rằng toán học là một thứ ngôn ngữ phổ quát, song có lẽ nói vậy chưa hẳn đã là hoàn toàn đúng.